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Le grimoire d'Ulfer

La culture au sens large
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 Sujet du message: Fondement mathématique
MessagePosté: Lun Mar 27, 2006 6:59 pm 
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Ecolo à vélo

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Une petite réflexion, pas forcément très polémique... :roll: :mrgreen:

Si on cherche une connaissance absolue (ne me parlez pas de cogito... :evil: :mrgreen: ), par exemple en maths, on retombe finallement sur les axiomes, ou les définitions...

Je sais plus dans quelle discussion, je disais que 1+1=2 était évident, et Julianos (je crois) me faisait remarquer que c'était un concept mathématiques difficilement appréhendable pour qui n'a pas étudié dans cette matière... mais je crois que c'est faux : par définition, deux objets c'est un objet et un autre objet. La seule barrière, c'est le langage, qui pose l'étiquette "un" et "deux" sur une réalité palpable...

Doit-on alors considérer l'évidence (la vraie, pas "je suis le plus beau, c'est évident", "c'est évident que les arabes sont musulmans", mais plutôt "c'est évident qu'un homme n'est pas un chien" ou "c'est évident que trois points distincts forment un triangle") comme vraie ?

Je le pensais au début, prenons l'axiome d'Euclide : "soit une droite et un point, il existe une droite et une seule parrallèle à la première passant par le point".
C'est vrai, mais seulement dans la géomètrie euclidienne...

Le truc, c'est que cette géomètrie "représente la liberté".
On a donc pas des évidences, mais des hypothèses, et on peut en trouver d'autres par l'absurde.

Par exemple, on peut considérer que trois points distincts ne forment pas un triangle, et tirer de cette base des connaissances...

La différence, c'est qu'on a plus aucun lien avec la réalité... :mrgreen:

La différence donc, entre une "évidence vraie" et une "donnée de base éronnée" ( :mrgreen: ), c'est que l'une repose sur les faits...

Et je pense qu'on peut généraliser, des maths, à toute connaissance...

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MessagePosté: Mer Mar 29, 2006 8:59 pm 
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Se croit Roi d'un peuple imaginaire...
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oula !

euh si tu veux j'ai un polycop d ephilo (petite 15aine de pages) sur les maths et la science ( mais surtout les maths)

si tu veux je te le photocpierais ( ou répondrais plus en détail ici, un jour ou je serais moins crevé)

Citation:
Je le pensais au début, prenons l'axiome d'Euclide : "soit une droite et un point, il existe une droite et une seule parrallèle à la première passant par le point".
C'est vrai, mais seulement dans la géomètrie euclidienne...


c'est en tentant de le démontrer par l'absurde que son nées les géométries non euclidiennes....

quant aux maths, on peut le prouver par le haut (le rattacher à un système non contradictoire antérieure=> par exemple la garantie de la non contradiction de la géométrie non euclidienne est la géométrie euclidienne et celle de celle ci est l'artihmétique ( etc démonstrations de Poincarré)
ou par le bas=> application dans le réel (ex physique)
Mais Goddel a montré qu'une artihmétique non contradictoire amenait à des résultats indécidables ( ni prouvables ni réfutables), tout en étant soit meme indécidable.... ( bon pour un type qui a crapahuté dans la montagne pendant deux jours sans dormir, c'est deja assez asommant, je posterais la suite plus tard)

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Ή επιστήμη γίγνεται ώς
(la science devient des oreilles !)
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MessagePosté: Jeu Mar 30, 2006 5:07 am 
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Citation:
c'est en tentant de le démontrer par l'absurde que son nées les géométries non euclidiennes....


Oui, justement, on peux faire ça pour d'autres choses, après on tombe pas toujours sur quelque chose d'intéressant... :roll:

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MessagePosté: Dim Aoû 27, 2006 8:10 pm 
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La question de la réalité des maths est d'abord une interrogation plus universelle sur le vrai : qu'est ce qui est "vrai" ? Quel sens donné à ce mot qui a priori semble transparent, mais qui peut revêtir toutes sortes de motifs par la suite ?

Les mathématiciens sont des gens très terre à terre, et pour eux, la définition de "vrai" est univoque : c'est un énoncé qui a été prouvé via les outils d'implication/équivalence, à partir d'un ensemble d'axiomes.

Partant de là, les maths sont donc presque "toujours vrais", dans le sens que tout énoncé est prouvé ; maintenant, cela peut être vrai et être contre intuitif, voire sans lien avec la réalité ; par exemple la géométrie ensembliste nous dit qu'on peut créer un disque à partir d'un carré, qu'on peut créer deux sphères à partir d'une seule et de même volume. Le tout en étant vrai au sens mathématique.

Presque ? Oui car une poignée d'irréductible gaulois...euh théorème :D ne pourront jamais être démontrés, et ce même avec un ensemble d'axiome. C'est justement Goedel, qui a beaucoup travaillé sur ces histoires d'axiomes et compagnie, qui a découvert ça. Plus fort, il existe certains axiomes qui ne modifient presque aucun résultat, tel que l'axiome du choix (qui pourtant parait "évident").

Maintenant, ce genre de considérations peut paraitre en dehors de toute réalité : c'est vrai, pourquoi prendre des axiomes qui semblent contraire à l'évidente réalité ? Et pourtant, la géométrie de Riemann a des applications en physique quantique, et pas mal de phénomène ne peuvent être expliqué par les mathématiques "classiques" ; c'est entre autre comme ça qu'est née les calculs différentiels, alors qu'on a du mal à se représenter une dérivée la plupart du temps...


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MessagePosté: Lun Aoû 28, 2006 7:36 am 
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Citation:
Presque ? Oui car une poignée d'irréductible gaulois...euh théorème Very Happy ne pourront jamais être démontrés


Mais qu'ils ne puissent être démontré signifie-t-il qu'ils sont faux ?

Citation:
c'est un énoncé qui a été prouvé via les outils d'implication/équivalence, à partir d'un ensemble d'axiomes.


Mais les axiomes doivent alors être vrai dans l'absolu...

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MessagePosté: Lun Aoû 28, 2006 12:22 pm 
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Le fait qu'ils ne puissent pas être démontrés fait qu'on dit qu'ils sont ni vrais ni faux, mais "indémontrables" ... :mrgreen:


Sinon, un axiome ne peut être vrai dans l'absolu, ou faux. Il est, et c'est tout, il existe quoi.
Maintenant, tu peux prendre des axiomes s'enracinant dans le réèl. Mais tu peux aussi prendre des axiomes plus farfelus, comme par exemple pour la géométrie ensembliste, et aboutir à des résultats totalement cohérent avec eux même.


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MessagePosté: Lun Aoû 28, 2006 1:47 pm 
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On peut alors faire la différence entre quelque chose de vrai et quelque chose de réel... la conclusion étant aussi réelle que l'hypothèse ou l'axiome de départ...

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MessagePosté: Lun Aoû 28, 2006 2:01 pm 
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Comme je l'ai dis plus haut, tu devrais d'abord définir ce que c'est que le "vrai", ou le "réèl". Parce que le "vrai" mathématique n'est pas forcément le même que celui de la vie courante !


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MessagePosté: Lun Aoû 28, 2006 3:00 pm 
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Je suis d'accord avec cooky ; on peut prouver n'importequoi de manière totalement rationelle et construite en choisissant l'axiome approprié. D'ailleurs, on peut étendre ça au comportement des individus dans une société. Leur atitude est parfois stupide, mais pas selon eux car ils ont choisis des axiomes sociaux et moraux qui ne dépendent qu'eux. C'est aussi pour cela qu'il est si difficile de faire évoluer des mentalités, c'est s'attaqer à ces axiomes comportementaux (je ne sait pas si les termes choisis sont très heureux, mais bon...). Et pour faire évoluer la connaissance mathématique, il faut aussi peut être explorer d'autres axiomes, en tentajnt de se rapprocher le plus possible de l'idéal, sachant que ce n'est pas en raisonnant sur les axiomes déjà établis qu'ont va pouvoir critiuqer ces mêmes axiomes.

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« Mais alors si ce n’est pas ici, où est-ce l’enfer ? »
Et une petite voix ricanante répondit à cette interrogation depuis les tréfonds de sa conscience :
« Là où sont les gutums bien sûr. »

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MessagePosté: Mar Aoû 29, 2006 9:23 am 
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Le réel étant le vrai de la vie courante... d'ailleurs ce n'est pas la question d'un vrai mathématique ou non, c'est un vrai par rapport à une base différente. Il est vrai par son raisonnement, le chemin dela base à la conclusion.
Le vrai mathématique c'est "si je prend cet axiome de base, ceci est vrai". Le vrai est donc relatif à l'axiome choisi, mais on peut très bien voir cela dans d'autres sujets que les mathématiques. Simplement les résultats sont moins intéressant (y a guère que les matheux qui s'intéressent à des résultats ne prenant pas en compte la réalité). Le réel étant un vrai dont les axiomes de bases sont vérifiés dans notre espace temporel, à notre échelle...


Pas forcément, Julianos, parce qu'on ne tire pas des conclusions à partir de nos principes de vie en posant rigouresement le problème (ce serait bien trop long), on fait de l'à peu près, peu rationnel, qui s'appuie non pas sur des définitions précises et claires mais des images mentales, des regroupements de sens, flous... donc l'erreur part autant des axiomes de bases que du cheminement vers la conclusion...

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MessagePosté: Mar Aoû 29, 2006 1:57 pm 
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Mais comment définis tu le "vrai de la vie courante" ? Et qu'est ce que "l'évidence" ?

Ce qui est empiriquement palpable ? Dans ce cas, je ne vois pas les atomes, les molécules, etc...Est ce que ça veut dire qu'ils n'existent pas ?

Ce qui est ? Mais alors, qu'est ce qu'être ? A part "être vrai" ;)


Détaille un peu ta conception du vrai,puisque c'est là l'enjeu soulevé implicitement par ton questionnement initial.


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MessagePosté: Mar Aoû 29, 2006 3:29 pm 
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Citation:
Mais comment définis tu le "vrai de la vie courante" ? Et qu'est ce que "l'évidence" ?

Les sens sont subjectifs et subordonnés à des conventions. Comment déterminer le "vrai"?
Une qualité quantifiable(1,2,3, etc) peut être prouvée mais qu'en est-il d'un état quantifiable?(un peu, beaucoup)
Ce qui est une évidence n'est souvent qu'une facette de la réalité vue sous un certain angle. Quid de LA vérité?

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Famille veut dire que personne ne doit être abandonné


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MessagePosté: Mer Aoû 30, 2006 1:51 pm 
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Ici, j'utilise "réalité" pour dire le vrai dans le sens être vrai, vrai absolu, c'est-à-dire que si un boule est bleue et que je crois vrai qu'elle est verte, en réalité elle est quand même bleue (la traîtresse !).

Le vrai non réel est alors le vrai subjectif, le fait que je considère quelque chose vrai. On peut l'atteindre par l'évidence, l'expérience, ou par un raisonnement à partir d'hypothèse (axiomes, etc...) qu'on pose vraies.

C'est donc plus un vraisemblable qu'un vrai. On s'en rend facilement compte avec l'expérience, mais même avec un raisonnement mathématiques, si des élèves peuvent se tromper, rien ne garantie que qui que ce soit soit bon, donc même en posant vrai quelque chose au départ, à la fin, même si on ne trouve pas de fautes dans le développement, cela ne signifie pas dans l'absolu qu'il n'y en a pas... pareil pour l'évidence, on sait qu'il y a des erreurs évidentes.

Mais le vraisemblable n'est pas faux comme en maths : en effet, si je vous dit qu'il est vrai que je tape sur mon ordi, c'est vraisemblable mais c'est sans doute aussi vrai (en réalité). On peut bien sûr inventer nombres de scénarios plausibles de science-fiction où je serais moi-même persuadé d'écrire ce texte mais où en réalité je serais endormi dans un autre monde avec des diodes (électro-luminescentes parce que c'est plus classe pour Noël) dans le crâne, ou que sais-je... il n'empêche que de là à considérer faux ce que je dis, il y a une marge.
Et comme dans la vie courante, empiriquement on s'est rendu compte que le vraisemblable était souvent vrai (c'est-à-dire que face à une situation, on a considéré vraisemblable un fait, on a agit en conséquence, et la réaction a été telle que si le fait était vrai ; car on ne peut jamais vraiment, même a posteriori, atteindre le vrai vrai, le réel) et puis "vraisemblable" c'est trop long donc on dit vrai.[/quote]


EDIT : Au fait j'ai repensé au cogito vu que je n'avais pas été clair je sais plus où et Julianos m'avait dit que ça restait quand même convaincant.


En fait, "je pense donc je suis" c'est comme n'importe quel raisonnement : hypothèse de départ "je pense", en toute logique un corps qui agit est, donc "je suis".
Or qui nous dit que Descartes pense ? Lui ? La bonne affaire. Un ordinateur peut aussi afficher sur son écran qu'il pense. C'est grâce à ses sens qu'il croit penser. Or ce qu'on reçoit par les sens est plus ou moins vraisemblable, pas forcément vrai. Donc le cogito n'a rien d'une vérité absolu (enfin, c'est peut-être une réalité, mais on ne peut pas l'utiliser comme René (il perd de sa superbe je trouve) pour édifier toutes les autres connaissances sur cette base solide).

Et "on ne peut atteindre de vérité absolu"... ne peut être considéré comme une vérité absolu (même si ce peut être une réalité). Mais c'est ce qui me semble le plus vraisemblable et d'assez loin, c'est donc cette conception dont je me sers pour comprendre et agir en conséquence...

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MessagePosté: Mer Aoû 30, 2006 5:28 pm 
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Le fait d'ajouter l'adjectif absolu à vérité ou à réalité ne permet pas d'en éclaircir la définition :wink:

Le problème est que ce terme d'absolu ne renvoie pas à quelque chose d'intellectuellement constructif ; en effet, que peut-on considérer qu'absolu ? Qu'est ce que ça signifie ?

En mécanique, on apprend que rien n'est absolue : si la terre gravite autour du soleil, ie est soumis de manière prépondérante à l'attraction du soleil dans la mécanique newtonienne, on ne peut pas dire que le soleil ne tourne pas autour de la terre : par rapport à la terre, le soleil décrit un ellipse, tout comme la terre décrit une ellipse par rapport au soleil. Qu'est ce qui est donc "absolument vrai" suivant ces considérations ?

Sinon, la couleur est aussi sujet à relativisme : déjà, si tu es en mouvement ou non, tu ne la verras pas de la même couleur (phénomène doppler). Qui plus est, qui te dit que le bleu que tu vois est le même que dans l'esprit de ton voisin ? Pire, qu'est ce qu'une couleur, est ce une teinte, une onde électromagnétique, une perception...bref, c'est quoi ?


Comme on le voit, en poussant le bouchon, rien ne peut être définitivement absolu, dans notre réalité. Maintenant, en maths, on part d'axiome, qui peuvent être farfelus, car de toutes façons, ils ne pourront pas s'approcher d'une "vérité absolue". Pour des vérités absolues et immuables, l'homme ne se réfugie pas dans la science, mais dans le religieux.


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MessagePosté: Mer Aoû 30, 2006 6:10 pm 
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Citation:
en effet, que peut-on considérer qu'absolu ? Qu'est ce que ça signifie ?


Qu'elle que chose de non relatif. :mrgreen:

Je ne suis pas d'accord. On peut définir une vérité absolue comme une vérité qui ne dépend pas d'une hypothèse de base. :roll:
Le mouvement des corps est relatif, effectivement... mais... heu... en quoi ça étaye le propos pour ce qui est de la vérité ?

Pour la boule de couleur, dans la réalité, il est (sans doute) vrai (réel ,vrai dans l'absolu) que la lumière qu'elle renvoie ne balaye qu'une certaine partie du spectre lumineux. Disons que ça fait du verts. Ben je peux très bien la voir bleue (avec la distance, et tout). Et même, plus probant que la couleur, cette boule existe. C'est (sans doute, encore une fois, puisqu'au fond ce que je crois) une vérité, une réalité.

Citation:
si la terre gravite autour du soleil, ie est soumis de manière prépondérante à l'attraction du soleil dans la mécanique newtonienne, on ne peut pas dire que le soleil ne tourne pas autour de la terre : par rapport à la terre, le soleil décrit un ellipse, tout comme la terre décrit une ellipse par rapport au soleil. Qu'est ce qui est donc "absolument vrai" suivant ces considérations ?


Ben, que la force gravitationelle en oeuvre a pour valeur le produit de la masse du Soleil et celle de la Terre sur la distance au carré, je vois pas où est le problème... :?

De plus, dire que la Terre tourne autour du soleil et que le Soleil tourne autour du Soleil n'a rien de contradictoire...

Citation:
Comme on le voit, en poussant le bouchon, rien ne peut être définitivement absolu, dans notre réalité.



Ben, si... la réalité. Que nous définissions la couleur comme une teinte, une onde électromagnétique ou une perception n'affecte en rien le déplacement du photon ou que sais-je... mais étant donné qu'on ne capte des informations que par nos sens et qu'on déduit à partir de cette base, ben ce qu'on considère, effectivement, nous, tient de l'opinion, du choix fait entre plusieurs vraisemblances.

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